Question

如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=60.E,F,G

如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=60.E,F,G分别是AO,BO,CD的中点，连结EF,FG,EG
1.连结ED，试直接写出ED与OA的关系
2.求证：△EFG是等边三角形
3.如图2，如果把矩形ABCD改成等腰梯形，且AD∥BC，其它条件不变，△EFG还是等边三角形吗？请说明理由

Answer 1

1、DE=√3/2OA
2、∵点E是OA的中点，点F是OB的中点
∴EF=1/2AB
∵矩形ABCD
∴AB=CD，AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD
∴EF=1/2CD，OA=OD
又∵∠AOD=60°
∴AD=OA=OD
∵AE=OE
∴DE⊥OA
∴∠DEC=90°
∵点G为CD的中点
∴EG=1/2CD
同理GF=1/2CD
∴EF=EG=FG
∴△EFG是等边三角形
3、△EFG还是等边三角形
证明：∵点E是OA的中点，点F是OB的中点
∴EF=1/2AB
∵等腰梯形ABCD
∴AB=CD，AC=BD，∠BAD=∠ADC
∴EF=1/2CD，
在△ABD和△DCA中
AB=CD，∠BAD=∠ADC，AD=DA
∴△ABD≌△DCA
∴∠ADB=∠CAD
∴OA=OD
又∵∠AOD=60°
∴AD=OA=OD
∵AE=OE
∴DE⊥OA
∴∠DEC=90°
∵点G为CD的中点
∴EG=1/2CD
同理GF=1/2CD
∴EF=EG=FG
∴△EFG是等边三角形

Answer 2

1、ED=ODsin60°=√3/2AO
2、⊿OEF∽⊿ODC，那么EF=DC/2
直角⊿DEC中，G为斜边DC的中点，那么EG=DC/2，即EF=EG
同理，连接FC，可以得出：EF=FG，即△EFG是等边三角形
3、△AOD仍然是等边三角形，仍然可以证明EF=EG
而△BOC与△AOD相似，也是等边三角形，即CF垂直于OB
那么直角△DFC中，G为斜边DC的中点，那么FG=DC/2=EF
△EFG还是等边三角形

Answer 3

1)因为∠AOD=60，所以△AOD是等边三角形
E是OA的中点，等边三角形三线合一，所以ED垂直于OA