Question

如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且CF=1/4CD，试判断AE和EF的位置关系，并说明理由

Answer 1

解：连接AF，
设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a
所以DF=3a，CE=EB=2a．
由勾股定理得AF=5a，
EF=√5a，AE=2√5a从而由（√5a）^2+（2√5a）^2=（5a）^2
即EF^2+AE^2=AF^2
∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，
故∠AEF=90°，
即AE⊥EF．

Answer 2

答：AE⊥EF
解：设CF为a，则CD为4a.
因为正方形ABCD
所以AB=BC=CD=AD=4a 四个角=90°
因为CF=1/4CD
所以DF=3a
因为点E是BC中点
所以BE=CE=2a
在RT△ABE中 AB^2+BE^2=AE^2
AE=√20a^2
同理EF=√5a^2
连接AF 同理可证AF=√25a^2
在△AEF中 AE^2+EF^2=(√20a^2)^2+(√5a^2 )^2
=(√25a^2)^2
=AF^2
所以△AEF为RT△ ∠AEF=90°
所以AE⊥EF