Question

设F(x)=1/(2^x+根号2),利用课本推导等差数列前n项和的公式方法求:

f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值 （注：2^x指的是2的x次方)

提示:等差数列前n项和推导是:
a2=a1+d
a3=a1+2d
a4=a1+3d
......
an=a1+(n-1)d.
相加即得Sn=n(a1+an)/2

欢迎讨论,请把过程写清楚.本人高一.谢谢各位,尽快回复

Answer 1

对不起，昨天没有登陆。今天刚看到信息。
这个题目的思路是 寻找 “f(x) + f(y) = 某简单形式”。其中,y可能是 -x 或者其它。
但经过实际检验 f(x) + f(-x) 得不出任何有价值的结果。其次想到的是 f(x) + f(1-x)。另外，从f(-5) 和 f(6) 的成对关系，也暗示着 求 f(x) + f(1-x)

f(x) = 1/(2^x + √2）
f(1-x)
= 1/[2^(1-x) + √2） 。。。。(分子、分母同时乘以 2^x )
= 2^x/(2 + √2 * 2^x) 。。。。（分母中提取出 √2）
= (2^x/√2) * (1/√2 + 2^x)
= (2^x/√2) * f(x)

f(x) + f(1-x)
= (1+ 2^x/√2) * f(x)
=[ (√2 + 2^x)/√2 ] * f(x)
= [1/√2*f(x)] * f(x)
= 1/√2

f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)
= [f(-5) + f(6)] + [f(-4) + f(5)] + [f(-3) + f(4)] + [f(-2) + f(3)] + [f(-1) + f(2)] + [f(0) + f(1)]
= 6/√2
=3√2

Answer 2

“f(x) + f(y) = 某简单形式”。其中,y可能是 -x 或者其它。
但经过实际检验 f(x) + f(-x) 得不出任何有价值的结果。其次想到的是 f(x) + f(1-x)。另外，从f(-5) 和 f(6) 的成对关系，也暗示着 求 f(x) + f(1-x)
f(x) = 1/(2^x + √2）
f(1-x)
= 1/[2^(1-x) + √2） 。。。。(分子、分母同时乘以 2^x )
= 2^x/(2 + √2 * 2^x) 。。。。（分母中提取出 √2）
= (2^x/√2) * (1/√2 + 2^x)
= (2^x/√2) * f(x)
f(x) + f(1-x)
= (1+ 2^x/√2) * f(x)
=[ (√2 + 2^x)/√2 ] * f(x)
= [1/√2*f(x)] * f(x)
= 1/√2
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)
= [f(-5) + f(6)] + [f(-4) + f(5)] + [f(-3) + f(4)] + [f(-2) + f(3)] + [f(-1) + f(2)] + [f(0) + f(1)]
= 6/√2
=3√2