Question

已知 如图 菱形ABCD中 点E F分别在边BC CD上 且∠EAF=∠B求证AE=AF

Answer 1

由四边形ABCD是菱形知AB//CD，CD=CB，且三角形ACD的面积等于三角形ACB的面积（菱形的对称性），所以由三角形面积公式得三角形ACD面积=1/2（CD*AF*sin∠AFC）=三角形ACB面积=1/2（BC*AE*sin∠AEC），化简得AF*sin∠AFC=AE*sin∠AEC。另一方面，由AB//CD知∠B+∠BCD=180°，而∠EAF=∠B，所以∠EAF+∠BCD=180°，在四边形AEFC中，内角和∠EAF+∠BCD+∠AEC+∠AFC=360°，所以∠AEC+∠AFC=180°，即得到sin∠AEC=sin∠AFC，再由AF*sin∠AFC=AE*sin∠AEC知AE=AF