计算:1^3+2^3+3^3+4^3+……+1999^3=?请附解析过程,讲透,谢谢
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正整数范围中 1³ + 2³ + …… n³ = [n (n+1) / 2]²=(1+2+……+n)²
这样算出来得
1³ + 2³ + …… 1999³=[1999×(1999+1)/2]²=1999000²=?太大了
这样算出来得
1³ + 2³ + …… 1999³=[1999×(1999+1)/2]²=1999000²=?太大了
参考资料: http://baike.baidu.com/view/604117.htm?fr=ala0_1_1
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1³ + 2³ + …… n³ = [n (n+1) / 2]²
你需要知道这个公式。至于怎么来的,需要挺深的兴趣和数学修养。
如果你想记得它,就容易多了,先看这个:
1^k+2^k+……+n^k=a(k+1)*n^(k+1)+a(k)*n^(k)+a(k-1)*n^(k-1)+……a(2)*n^(2)+a(1)*n
这个意义是,把等次项和转化为等底降次项和。(合理性可证,利用数学归纳法直接证明找到一组数列a即可证明有意义)
这里以2次为例:
设1^2+2^2+……+n^2=an^3+bn^2+cn
则1^2+2^2+……+n^2+(n+1)^2=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)
两式相减,n^2+2n+1=3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c)
利用同次项系数相等可得:a=1/3,b=1/2,c=1/6
所以
1^2+2^2+……+n^2=1/3n^3+1/2n^2+1/6n
3次的留给你自己去做。(提示:设1³ + 2³ + …… n³ =an^4+bn^3+cn^2+d)
你需要知道这个公式。至于怎么来的,需要挺深的兴趣和数学修养。
如果你想记得它,就容易多了,先看这个:
1^k+2^k+……+n^k=a(k+1)*n^(k+1)+a(k)*n^(k)+a(k-1)*n^(k-1)+……a(2)*n^(2)+a(1)*n
这个意义是,把等次项和转化为等底降次项和。(合理性可证,利用数学归纳法直接证明找到一组数列a即可证明有意义)
这里以2次为例:
设1^2+2^2+……+n^2=an^3+bn^2+cn
则1^2+2^2+……+n^2+(n+1)^2=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)
两式相减,n^2+2n+1=3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c)
利用同次项系数相等可得:a=1/3,b=1/2,c=1/6
所以
1^2+2^2+……+n^2=1/3n^3+1/2n^2+1/6n
3次的留给你自己去做。(提示:设1³ + 2³ + …… n³ =an^4+bn^3+cn^2+d)
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1³ + 2³ + …… 1999³=[1999×(1999+1)/2]²=3996001000000
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