Question

∮1/(x^2-8x 25)dx的不定积分，要过程。

Answer 1

解：因为1/(x^2-8x 25)=1/((x-4)^2-41)=1/((x-4-√41)*(x-4+√41))，

则∫1/(x^2-8x 25)dx=∫1/((x-4-√41)*(x-4+√41))dx

=1/2√41*ln(x-4-√41)/(x-4+√41)+C

分部积分法的形式：

（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。

=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

Answer 2

解：因为1/(x^2-8x 25)=1/((x-4)^2-41)=1/((x-4-√41)*(x-4+√41))，

则∫1/(x^2-8x 25)dx=∫1/((x-4-√41)*(x-4+√41))dx

=1/2√41*∫(1/(x-4-√41)-1/(x-4+√41))dx

=1/2√41*(∫(1/(x-4-√41)dx-∫(1/(x-4+√41)dx)

=1/2√41*(ln(x-4-√41)-ln(x-4+√41))+C

=1/2√41*ln(x-4-√41)/(x-4+√41)+C

参考资料：

1、分部积分法的形式

（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。

例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)

=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

（3）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

2、常用的不定积分公式

∫1dx=x+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

扩展资料来源：百度百科-不定积分

Answer 3

∫dx/(x^2-8x+25)=∫1/{(x-4)^2+9}dx
=1/3 arcsin(x-4)/3+c