Question

在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，若向量AC＝X向量 AB＋Y向量BC＋Z向量C'C，则X＋Y＋Z＝〔〕 要有详细解答

Answer 1

郭敦顒回答：
“向量 AB＋Y向量BC＋Z向量C'C，”的概念不清，若改为“向量AB=Y向量BC=Z，”
则（X＋Y＋Z）在平行四边形ABCD上，与－A'B'C'D'无关；
若改为“向量AB=Y，Z=向量C'C，”之误。则此况（X＋Y）与Z为异面向量。
看来不能按上二法修改。
“向量 AB＋Y向量BC＋Z向量C'C，”可能是“向量BC=Y，向量C'C=Z，”之误，以此解之——
平行四边形ABCD在平面M上，则（X＋Y）=向量D″C，且在M上。D′AD″成一直线且D′A= AD″，C'与AD″决定一平面P，向量C'C在平面P上，
因向量C'C=Z，
所以，向量（X＋Y＋Z）在平面P上，表示为向量EC，E为平行四边形CD″EC′中的一个顶点，是按向量和（X＋Y＋Z）的平行四边形法则确定的。
所以有X＋Y＋Z＝〔向量EC〕
（不绘图了）

Answer 2

题意是清楚的，没有什么不清楚的委屈！本题的切入点是零向量在空间一个基底上分解是唯
一的。也就是 向量0 只能等于 0*向量AB+0*向量BC+0*向量C'C

由题设：向量AC＝X向量 AB＋Y向量BC＋Z向量C'C
又因为 向量AC= 向量AB+向量BC
所以 X向量 AB＋Y向量BC＋Z向量C'C= 向量AB+向量BC 移项合并同类项得：
(x-1)*向量 AB+(y-1)*向量BC+z*向量C'C=零向量 （1）

因为 向量 AB、向量BC、向量C'C是空间的一个基底向量，而零向量在三个基底向量的分解
是唯一的。（这句话的意思是（1）式中的左边的三个系数全都是为零。）
--------------------------------------------------
所以{x-1=0
{y-1=0
{z=0
------------------------------------------
==>{x=1
{y=1
{z=0
----------------------------------
x+y+z=2

Answer 3

显然向量AC＝向量 AB＋向量BC，所以X=1，Y=1，Z=0
X＋Y＋Z＝2