Question

双曲线C1：X^2/a^2-y^2/b^2=1的左准线为L左右焦点分别为F1，F2;抛物线C2的准线为L焦点为F2，C1和C2的一个焦

双曲线C1：X^2/a^2-y^2/b^2=1的左准线为L左右焦点分别为F1，F2;抛物线C2的准线为L焦点为F2，C1和C2的一个焦点为M,则[F1F2]/[MF1]-[MF1]/[MF2]等于

Answer 1

双曲线C1：X^2/a^2-y^2/b^2=1的左准线为L左右焦点分别为F1，F2;抛物线C2的准线为L焦点为F2，C1和C2的一个交点为M，则[F1F2]/[MF1]-[MF1]/[MF2]等于
设双曲线C1的半焦距为c，离心率e=c/a，M点到L的距离为d
由题意|F1F2|=2c，M点在双曲线C1上有|MF1|/d=e→|MF1|=de；
抛物线C2的准线为L焦点为F2，M在抛物线上有|MF2|=d；
[F1F2]/[MF1]-[MF1]/[MF2]
=2c/(de)-de/d
=2a/d-e
又M点在双曲线C1上有|MF1|-|MF2|=2a，则de-d=2a→d=2a/(e-1)→2a/d=e-1→2a/d-e=-1
所以[F1F2]/[MF1]-[MF1]/[MF2]=-1

追问

双曲线C1：X^2/a^2-y^2/b^2=1的左准线为即X=-(a^2/c).抛物线C2的准线为LX=-(a^2/c)..焦点为F2(c,0)，抛物线有抛物线的性质可知a^2/c=c知a^2=c^2。这样双曲线就不存在了？

追答

注意：
抛物线方程不是标准方程，顶点不在原点，本题中a^2/c≠c。