Question

一道关于偏导及可微的证明题，急！！在线等，好的加分！！

证明f(x,y)=xy/sqrt(x^2+y^2)，x^2+y^2≠0；0，x^2+y^2=0在点(0,0)处两个偏导数都存在，但此函数在点(0,0)不可微。
没有人吗？？

Answer 1

根据定义来做
f偏x（0，0）
=lim[x->0] [f（x，0）-f（0，0）]/x =0
同理f偏y （0，0） =0。
根据判断可微的充要条件：
lim [x->0，y->0]｛f（x。+x，y。+y）-f（x。，y。）-(df（x。，y。）/dx) dx-(df（x。，y。）/dy) dy｝/sqrt（x^2+y^2）存在即可。
然而
在（0，0）点处，原函数
lim [x->0，y->0] [f（x，y）-0-0-0]/sqrt（x^2+y^2）=xy/(x^2+y^2) (*)
根据齐次性去x=ky，这个极限=k/（1+k^2）是与k的取值有关的。 也就是极限(*)不存在。

追问

齐次性是什么意思？

追答

就是上下的次数其实是相同的，都是2。。。这样一般都采用x=ky这种特殊的线性逼近原点。