Question

若同阶方阵A与B相似，下面正确的是（） A.A与B有相同的特征值和特征向量 B.A与B都相似于一个对角矩阵...

若同阶方阵A与B相似，下面正确的是（）
A.A与B有相同的特征值和特征向量
B.A与B都相似于一个对角矩阵
C.aE-A=aE-B
D.对于任意常数t,tE-A与tE-B相似

Answer 1

D 正确.

A不对, 相似则特征值相同, 但特征向量不一定相同
B不对, 两个矩阵不一定可对角化
C不对, 特征矩阵不一定相同
只有D对了, 若 P^-1AP=B, 则 P^-1(tE-A)P = tE-P^-1AP = tE-B.

Answer 2

若同阶方阵A与B相似，则有n阶非奇异矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B。

A显然错误，特征向量不一定相同的。
B也错。
C显然错。事实上如果加一个行列式的符号就是对的了，也就是|aE-A|=|aE-B|成立（证明可以由D答案的解释推出）。
D正确，因为tE-B=P^(-1)t*P-P^(-1)*A*P=P^(-1)*（tE-A）*P