Question

求下列矩阵的秩及行向量组的一个极大线性无关组：

⑴
3 1 0 2
1 -1 2 -1
1 3 -4 4

⑵
1 1 2 2 1
0 2 1 5 -1
2 0 3 -1 3
1 1 0 4 -1

Answer 1

因为题目要求行向量组的一个极大无关组, 需将矩阵转置再用初等行变换

(1) 解: A^T =
3 1 1
1 -1 3
0 2 -4
2 -1 4

r1-3r2,r4-2r2
0 4 -8
1 -1 3
0 2 -4
0 1 -2

r1-4r4,r3-2r4
0 0 0
1 -1 3
0 0 0
0 1 -2

矩阵的秩为2, 第1,2行是一个极大无关组.

(2) 解: A^T =
1 0 2 1
1 2 0 1
2 1 3 0
2 5 -1 4
1 -1 3 -1

r2-r1,r3-2r1,r4-2r1,r5-r1
1 0 2 1
0 2 -2 0
0 1 -1 -2
0 5 -5 2
0 -1 1 -2

r2-2r3,r4-5r3,r5+r3
1 0 2 1
0 0 0 4
0 1 -1 -2
0 0 0 12
0 0 0 -4

r4-3r2,r5+r2
1 0 2 1
0 0 0 4
0 1 -1 -2
0 0 0 0
0 0 0 0

矩阵的秩为3, 第1,2,4行是一个极大无关组.

Answer 2

做列初等变换，化为阶梯型