Question

若limf(x)-f(-x)/x存在,则f'(0)是否存在

Answer 1

limf(x)-f(-x)/x
=lim【f(x + 0)-f(0)/x + f(-x + 0)-f(0)/x】
一般会有，lim【f(x + 0)-f(0)/x】 + 【 limf(-x + 0)-f(0)/x】=f'(0) + f'(0) = 2 f'(0)；
而若cf(x)' 存在，c为常数，是可以得到f(x)' 存在的 。
但是，a + a = 2a 的加法运算是应用于a存在时的数量运算的。此处f'(0) 存在是结论，不可以用，所以其是否存在不可知。故，不能推出结论。
补充个例子，令f(x) = |x| ，显然f'(0) 不存在。
但是limf(x)-f(-x)/x = 0存在。
以上说法来自新东方张宇，我是视频看到的。
实际证明直接使用反证法就可以了，举出上面那个反例。但是在草稿纸上，则需要自己一步步拆才能得到思路。

看明白了吧！可存在，也可能不存在。

Answer 2

不一定.
x→0时,
lim[f(x)-f(-x)]/x 存在,
不能说明 lim[f(x)-f(0)]/x和 lim[f(0)-f(x)]/x存在
反例（1）：如对于 f(x)=1/x,f(0)没有意义.从而当x=0时 ,导数不存在
反例（2）：即使f(0)有意义,lim[f(x)-f(0)]/x和 lim[f(0)-f(x)]/x也不一定存在.
如 f(x)=|x|,x→0时,lim[f(x)-f(-x)]/x =lim 0/x=0,存在,
但 [f(x)-f(0)]/x=|x|/x=1或-1(这是由于 f '(0+)=1 ，f '(0-)= -1),极限不存在.

Answer 3

lim【f(x + 0)-f(0)/x】 + 【 limf(-x + 0)-f(0)/x】。
当x→0+，原式=f'(o+)+f'(0-)=A
当x→0-，原式=f'(o-)+f'(0+)=A
但不能说明f'(o-)=f'(0+)即f'(0)存在

Answer 4

存在的 因为limfx小于等于零

追问

答案好像不存在。。。