三角形ABC中，角C=90度，AC=BC,点P在射线AB上运动（点P不与点A、B重合），PE垂直于AC于点E,PF垂直BC于点F，
(1)若点P在线段AB上时，如图1，判断线段OE与OF的数量关系和位置关系，请直接写出结论，不必说明理由。
（2）若点P在线段AB的延长线上时，如图2，连接PC，
第一，判断线段PC与OE的数量关系，并加以说明。
第二，判断线段AP＼BP与CP三者间的数量关系（用等式表示），直接写出结论。 展开
解：（图1、2性质相同，因此只作一图分析）
(1)结论：OE=OF，且OE⊥OF；
方法：连接OC；
由于点E、F分别为过点P所作射线AC、CB上垂线的垂足，且点E、F随点P的运动而运动，那么点E、F的运动速率相等，则EA=FC；
∵AC=BC，∠C=90°，且点O为线段AB的中点；
∴OA=OC，且∠A=∠OCF=45°；
∵OA=OC，∠A=∠CFO，EA=FC（两边及其夹角相等推证全等）；
∴△AOE≌△COF，则OE=OF；
由于△AOE≌△COF，那么∠AOE=∠COF，而∠AOE与∠COF共∠COE，又∠AOE=∠COE+90°，则∠EOF=90°，即有OE⊥OF；
(2)①判断：PC=√2OE；
分析：依题意推知，四边形CEPF为矩形，那么PC=EF；又OE=OF，且OE⊥OF，即△EOF为等腰直角三角形，则EF=√2OE，即有PC=√2OE；
②判断：AP²+BP²=2CP²；
分析：在Rt△PFC中，由勾股定理得
CP²=FP²+CF²
根据题意并结合图形可知：FP=FB=√2/2•BP；
CB=CA=√2/2•AB；
CF=CB+FB=√2/2•(AB+BP)；
AB=AP-BP；
转化：CP²=FP²+CF²
=(√2/2•BP)²+½•(AB+BP)²
=BP²+½•AB²+AB•BP
=BP²+½•(AP-BP)²+(AP-BP)•BP
=½•(AP²+BP²)
故AP²+BP²=2CP².
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