Question

求定积分∫（0~2）f(x-1)dx

1、求定积分∫（0~2）f(x-1)dx, 其中当x>=0时,f(x)=1/(1+x); 当x<0时，f(x)=1/(1+e^x)
2、利用函数奇偶性计算：∫(-π/4~π/4) cosx(cosx+sinx)^2 dx

Answer 1

解：1.原式=∫<0,1>dx/(1+e^(x-1))+∫<1,2>dx/x
=∫<0,1>e^(1-x)dx/(1+e^(1-x))+ln2
=ln2-∫<0,1>d(e^(1-x))/(1+e^(1-x))
=ln2-(ln2-ln(1+e))
=ln(1+e)；
2.原式=∫<-π/4,π/4>cosx(cos²x+2sinxcosx+sin²x)dx
=∫<-π/4,π/4>cosx(1+2sinxcosx)dx
=∫<-π/4,π/4>cosxdx+2∫<-π/4,π/4>sinxcos²xdx
=2∫<0,π/4>cosxdx (∵sinxcos²x是奇函数，∴∫<-π/4,π/4>sinxcos²xdx=0)
=2(sin(π/4)-sin(0))
=2(√2/2)
=√2。

追问

请问1、中第二步变到第三步是怎么来的？？

Answer 2

这个题目需要用到积分区间的可加性
∫(2到-1）定积分f(x)dx=∫(2到0）定积分f(x)dx+∫(0到-1）定积分f(x)dx=[x^2/2](0,2)+[x](-1,0)=2+-1=1

Answer 3

2