Question

高中数学数列问题

Answer 1

这是一道难题。
解：
由题意，k= 3或4 时，对任意n>k，都有：
S(n+k) + S(n-k) = 2Sn + 2Sk
即有：
1）当n≥5时，以下两式恒成立：
S(n+3)+S(n-3)=2Sn+2S3
S(n-1+3)+S(n-1-3)=2S(n-1)+2S3
两式相减，有：
a(n+3)+a(n-3)=2an
也就是说，对于任意 k≥2，
ak，a(k+3)，a(k+6)，....，都成等差数列。
2）同理，当n≥6时，有：
S(n+4)+S(n-4)=2Sn+2S4
S(n-1+4)+S(n-1-4)=2S(n-1)+2S4
两式相减，有：
a(n+4)+a(n-4)=2an
也就是说，对于任意 k≥2，
ak，a(k+4)，a(k+8)，....，也都成等差数列。
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有了以上两个结论，我们来看：
对于任意 k≥8，
a(k-6)，a(k-3)，ak，a(k+3)，a(k+6)，5项构成等差数列，同时，
a(k-6)，a(k-2)，a(k+2)，a(k+6)，4项也构成等差数列。
所以，2ak = a(k-6) + a(k+6) = a(k-2) + a(k+2)
这说明，对于任意k≥6，
ak，a(k+2)，a(k+4)，a(k+6)，...都成等差数列。
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这个结论又可以变形：
对于任意的k≥9，
a(k-3)，a(k-1)，a(k+1)，a(k+3)，4项构成等差数列，所以：
a(k-3) + a(k+3) = a(k-1) + a(k+1)
刚才我们已经知道，a(k-3) + a(k+3) = 2ak
也就是：
2ak = a(k-1) + a(k+1)，对于所有的 n≥9成立。
也就是说，从a8开始，数列{an}是等差数列。我们假设这个公差是d。
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再来看2≤k≤8时，是不是等差数列。
这时，由于：
ak，a(k+6)，a(k+12)等差，
a(k+1)，a(k+7)，a(k+13)也等差，
所以：
2a(k+6) = ak + a(k+12)
2a(k+7) = a(k+1) + a(k+13)
相减，注意到a(k+7) - a(k+6) = d = a(k+13) - a(k+12)
得到：a(k+1) - ak = d
也就是说，a2到a8也是公差为d的等差数列。
所以，数列{an}从第二项起，已被证明是公差 d 的等差数列。
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（呼~~~~~真累~~~目前还没有证明a1也是等差数列中的一项。）
再来：
由于S(n+3)+S(n-3)=2Sn+2S3
2S3=S(n+3) + S(n-3) - 2Sn = 【S(n+3) - Sn】 - 【Sn - S(n-3)】
=【a(n+3)+a(n+2)+a(n+1)】-【an+a(n-1)+a(n-2)】
=【a(n+3)-an】+【a(n+2)-a(n-1)】+【a(n+1)-a(n-2)】
=3d+3d+3d=9d
即：2S3=9d
同理，由于S(n+4)+S(n-4)=2Sn+2S4，有：
2S4=16d
两式相减，
2S4-2S3=16d-9d
2a4=7d
a4 = 7d/2
a2 = a4 -2d =3d/2
得到，对于n≥2，有an= nd - d/2
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再来看a1。
由S7+S1=2S4+2S3，以及a1=1，an= nd - d/2（n≥2），
用求和公式，易知，d=2
所以，对于n≥2，有an= nd - d/2 = 2n-1
这个公式对于n=1，a1=1同样正确，所以
{an}为等差数列，通项公式为
an=2n-1

Answer 2

你的笔迹怎么像我，简直一摸一样。。
这是江苏省2011年数学高考题第20题第（2）问压轴题。具体解法参照答案。 高考资源网

Answer 3

兄弟看不清楚啊。。