Question

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD的交点为G。

(1)已知A1C1的中点为H，点N在BD上，且DN/NB=1/3，求证NH//面B1EF
（2）在棱DD1上能否找一点M，使BM⊥面FEB1？若能，试确定M的位置；若不能，请说明理由。

Answer 1

(1) 在平面 ABCD 中，ABCD 是正方形，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 的交点为 G ，点 N 在 BD 上，且 DN / NB = 1 / 3
连接 AC，AC 与 BD 相交于 O
∵ ABCD 是正方形，AC，BD是对角线
∴ O 为 AC，BD 中点
由相似三角形及 DN / NB 的比例可知，G 点为 BO 的中点，N 点为 DO 的中点
且 ∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1
∴ B1G // NH
∵ B1G 在面B1EF中
∴ NH//面B1EF

(2) 能
连接 B1G，BG，在直角三角形 BB1G 中，BB1⊥BG，BG = √2 / 4 ，BB1 = 1
做直线过B点与B1G垂直并交DD1于M，易证 △BB1G ∽△BDM
即
BG / BB1 = DM / BD
BD是正方形的对角线，即 BD = √2
∴ DM = BG * BD / BB1 = √2 * √2 / 4 / 1 = 1/2
即点M为DD1的中点