Question

一道数学积分题 在线等

计算∫xlnxdx,（上限是e，下限是1）。请单的写一下计算步骤，谢谢！
问题补充：这道题求的是定积分啊~~~~看清楚再回答，谢谢！
谁能帮我解出来啊~~救命啊~~

Answer 1

用分部积分法

令 xdx=dv,u=lnx,则v=(1/2)x的平方,du=(1/x)dx

则∫xlnxdx=uv-∫vdu = lnx*(1/2)x的平方|-∫(1/2)x的平方*(1/x)dx

=lnx*(1/2)x的平方|-(1/2)∫xdx

=(1/2)x的平方*lnx|-(1/4)x的平方|

=(1/2)e的平方-0-[(1/4)e的平方-1/4]

=(1/4)e的平方+1/4

说明:"|"的后面都要加上 上限e和下限1,真是不好意思,x的平方都不会表达,看起来可能有点麻烦哈,不好意思哦
很努力的写的,勉强还是看看吧,呵呵!

Answer 2

1、公式法
例如∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C
∫dx/x=lnx+C
∫cosxdx=sinx
等不定积分公式都应牢记，对于基本函数可直接求出原函数。
2、换元法
对于∫f[g(x)]dx可令t=g(x),得到x=w(t),计算∫f[g(x)]dx等价于计算∫f(t)w'(t)dt。
例如计算∫e^(-2x)dx时令t=-2x,则x=-1/2t,dx=-1/2dt,代入后得：-1/2∫e^tdt=-1/2e^t=-1/2e^(-2x)。对其求导验算一下可知是正确的。
3、分步法
对于∫u'(x)v(x)dx的计算有公式：
∫u'vdx=uv-∫uv'dx(u,v为u(x),v(x)的简写)
例如计算∫xlnxdx，易知x=(x^2/2)'则：
∫xlnxdx=x^2lnx/2-1/2∫xdx
=x^2lnx/2-x^2/4=1/4(2x^2lnx-x^2)
通过对1/4(2x^2lnx-x^2)求导即可得到xlnx。
4、综合法
综合法要求对换元与分步灵活运用，如计算∫e^(-x)xdx，这个就留着自己作为练习吧。

关于对基本函数求原函数可通过导数表直接得出，可以参考我的词条。