Question

求不定积分 ∫ x^2 /√（1-x^2） dx

Answer 1

令x=sinu，u：-π/2→π/2，则dx=cosudu，√（1-x^2）=cosu
原式=∫ (sin²u/cosu)*cosu du
=∫ sin²u du
=(1/2)∫ (1-cos2u) du
=(1/2)u-(1/4)sin2u+C
=(1/2)u-(1/2)sinucosu+C
=(1/2)arcsinx-(1/2)x√(1-x^2)+C

Answer 2

∫ x^2 /√（1-x^2） dx
1-x^2>0
xE(-1,1)
设x=cosa aE(0,pai) a=arccosx sina=根号(1-x^2)
原式=∫cos^2a/sinadcosa
=-∫(cos^2a/sina)*sinada
=-∫cos^2ada
=-∫(1+cos2a)/2da
=-∫(1/2)da-1/4∫(cos2a)d(2a)
=-a/2-sin2a/4+C
=-arccosa/2-cosasina/2+C
=-[(arcosx)+x根号(1-x^2)]/2+C