Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆与A，B两点，若FA＝2FB，

求椭圆的离心率。

Answer 1

设a半长轴,c为焦距,e为离心率,xA表示A点横坐标，xB表示B点横坐标，
由焦半径公式及三角函数得:
｜AF｜=a+exA=(XA+c)/cos60度 (1)
｜BF｜=a+exB=（-XB-c)/cos60度 (2)
由(1) XA=(2c-a)/(e-2) 由(2) xB=-(2c+a)/(e+2)
xA+xB=(8c-2ae)/(e^2-4) (3)
因为｜FA｜＝2｜FB｜ 所以a+exA=2( a+exB) 2XA+2c=2 (-2XB-2c )　可得
xA+xB=(a-9ce)/(4e) (4)
由(3) (4) (8c-2ae)/(e^2-4)=(a-9ce)/(4e) 两边除以a
(8e-2e)/(e^2-4)=(1-9e^2)/(4e)
整理得 9e^4-13e^2+4=0
分解得(e^2-4/9)(e^2-1)=0
e^2-4/9=0,解得e=2/3 e=-2/3(舍去) e=1或e=-1(因0<e<1,舍去)
所以e=2/3