Question

已知双曲线C的中心是原点,右焦点F(根号3,0),一条渐近线m:x+根号2y=0,设过点A(-3根号2,0)的直线M的斜率为K

1.求双曲线C的方程
2.若过直线m的一条平行线经过原点，且两点之间的距离为根号6，求K的值
3.当K大于2分之根号2的时候，在双曲线C的右支上是否存在点Q，使得点Q到直线M的距离为根号6？若存在，指出坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

c=√3，其一渐近线y=-√2x/2,b/a=√2/2，b=√2a/2,a^2+a^2/2=c^2=3,
a^2=2,b^2=c^2-a^2=1,
∴双曲丝方程为：x^2/2-y^2=1,
直线方程为：y=k(x+3√2），即kx-y+3√2=0，
a与l的距离为√6，则原点至l的距离就是a和l的距离，
根据点线距离公式，原点至直线l距离d=|0-0+3√2/√（1+k^2)=3√2/√（1+k^2)=√6，
∴k=±√2，
∵直线a//l,
则直线a方程：y=±√2x,（1）
根据至一条定直线距离为定值的点的轨迹是与该直线定距离的平行线，凡是在直线a上的点至直线l的距离均为√6，否则就不是√6，只要能证明a和双曲线相交，即可说明存在这样的Q点，
把方程（1）代入双曲线方程，
x^2/2-2x^2=-3x^2<0≠1，
√2/2≤k，均是小于0，故直线和双曲线右支不相交，也就不存在这样的Q点使之到直线l的距离为√6。

Answer 2

第二问里面两点之间距离为根号6，到底是哪两点，还有“过直线m的一条平行线”是什么意思？

追问

写错了，是若直线m的一条平行线，那里是两直线间的距离