Question

一道高数题，求微分方程通解 dρ/dθ+3ρ=2

答案是：2/3+Ce^(-3θ)
求具体过程，谢谢！！！

Answer 1

先求解齐次方程dρ/dθ+3ρ=0，分离变量dρ/ρ=-3dθ，两边积分lnρ=-3θ+lnC，得ρ=Ce^(-3θ)。
设ρ=ue^(-3θ)是原非齐次方程的解，将dρ/dθ=du/dθ×e^(-3θ) - 3ue^(-3θ)代入dρ/dθ+3ρ=2得du/dθ×e^(-3θ)=2，所以du/dθ=2e^(3θ)，u=2/3*e^(3θ)＋C。
所以原方程的通解是ρ=[2/3*e^(3θ)＋C]e^(-3θ)=2/3+Ce^(-3θ)

Answer 2

这是一阶线性微分方程，有通解公式
ρ=e^(-3θ)(C+∫2e^(3θ)dθ)=2/3+Ce^(-3θ)

如果不知道公式，可以分离变量得：dρ/(2-3ρ)=dθ,或：3dρ/(3ρ-2)=-3dθ
两边积分得：ln(3ρ-2)=-3θ+ln3C，即：3ρ-2=3Ce^(-3θ)，ρ=2/3+Ce^(-3θ)

追问

算到ρ=2/3+Ce^(-3θ)，不是还要
令ρ=2/3+ue^(-3θ) ①
ρ'=u'e^(-3θ)+ue^(-3θ)(-3) ②
然后代入原方程，求出 u'=。。。吗？（可是 u' 我求不出来）
再求出u=。。
最后代入①，求出方程通解

追答

那那里有什么u呀，不懂。你是一阶线性微分方程，ρ=2/3+Ce^(-3θ)就是通解，C是常数

追问

书里例题有这个步骤的，就是用常数变易法，把C换成u

Answer 3

实际上就是 y' + my + n =0 的一阶微分方程，其通解为 y =C*e^(-mx) - n/m

具体求解，就是先假定 y = C1*e^(-mx) + C2, 然后代入，得到：
-m*C1*e^(-mx) + m*C1*e^(-mx) + mC2 +n = 0，求出C2= -n/m

Answer 4

嗯