Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F
（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；
（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；
（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

(1)过D做DH垂直AC于H，过D做DG垂直BC于G；
易得等边直角三角形ADH及DBG;
由于D是边AB中点，，所以显然有AD=DB=DH=DG；
又有∠DGF=∠DHE=90°；
又∠GDF+∠HDF=∠HDE+∠HDF=90°；所以∠GDF=∠HDE;
所以易由角边角知，△EDH全等于△FDG；
所以由于△EDH全等于△FDG，则DE=DF。
（看不到图的话你按上面说的画一下辅助线即可）
（2）同理过D做DH垂直AC于H，过D做DG垂直BC于G；
因为∠DGF=∠DHE=90°；
又∠GDF+∠HDF=∠HDE+∠HDF=90°；所以∠GDF=∠HDE;
所以易由角角知，△EDH相似于△FDG；
因为△EDH相似于△FDG，所以DE：DF=DH：DG=AD/sin45°：DB/sin45°=AD：DB=m