Question

微积分题目，求解

设F(X)是f(x)的原函数，当x≥0时有f(x)*F(x)=(sin2x)^2，且F(0)=1,F(x)≥0，求f(x)

Answer 1

先用一阶可分离微分方程的解法，设F（x）=y，则f（x）=(sin2x)^2。
推出 y·dy=(sin2x)^2·dx，等式两边同时积分
推出y^2=cos2x+C.
由题，F（0）=1，代入前式，
得C=0。
推出F(x)=根号下（cos2x），复合函数求导，
得F（x）'=1/根号下（cos2x），即f(x)。

Answer 2

记：F(x)=y, 则: f(x)=dy/dx .
分离变量有：ydy＝（sin2x)^2dx
两边积分有：y^2=x-(sin4x)/4+C. 又：F(0)=1,F(x)≥0 得C＝0
y=根号[x-(sin4x)/4]. 再求导可得f(x)