Question

已知数列{an}中，a1=1，则a（n+1）=an+6/an+2。求该数列的通项公式

Answer 1

此题用特征根法求通项公式。
特征根法仅实用于求关系式中仅含有An和An+1的数列的通项。
即把式子中的An和An+1都用一个字母x替换，就变成了一个关于x的方程式，解出x
情况1： 如果x有一个解，就原式两边减去这个x的值，然后两边都变为倒数（等式依然成立），这时就很容易看出规律来了
情况2： 如果x有两个解，值分别为m和n，就用原式两边分别减去m得式子＊，再用原式两边分别减去n，得式子＃，然后用将两式化简，再用式子＊左边除以式子＃左边，式子＊右边除以式子＃右边，再左边等于右边，就很容易看出规律了！

a（n+1）=(an+6)/(an+2)，
解特征方程：x=(x+6)/(x+2)，
解得x=2或-3.
a（n+1）=(an+6)/(an+2),两边减去2可得：
a（n+1）-2=(an+6)/(an+2)-2,
a（n+1）-2=(-an+2)/(an+2),
(a（n+1）-2) =-(an-2)/(an+2).……①

a（n+1）=(an+6)/(an+2),两边减去 -3可得：
a（n+1）+3=(an+6)/(an+2)+3,
a（n+1）+3=(4an+12)/(an+2),
(a（n+1）+3)=4(an+3)/(an+2).……②

①÷②可得：
[(a（n+1）-2) / [(a（n+1）+3)/ =-1/4*[(an-2) /(an+3)],
所以数列{(an-2) /(an+3)}是公比为-1/4的等比数列，
首项为(a1-2) /(a1+3)=-1/4,
所以(an-2) /(an+3)=(-1/4)* (-1/4)^(n-1),
(an-2) /(an+3)= (-1/4)^n,
解得：an=[3+2*(-4)^n]/[ (-4)^n-1].

例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
特征方程为：y²= 5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3

于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)

消元消去A（n+1），就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.

例： (1)An=2A(n-1)+3A(n-2),A1=1,A2=3
求出其特征根为x1=-1,x2=3
-c1+3c2=1
c1+9c2=3
得c1=0,c2=1/3
所以An=3^(n-1)
(2)An=2A(n-1)-A(n-2),A1=1,A2=3
求出其特征根为x1=x2=1
c1+c2=A1=1
(c1+2c2)×1=A2=3
得c1=-1,c2=2
所以An=(2n-1)×1^(n-1)=2n-1