Question

在三角形ABC中，角A等于60度，BD垂直AC，CE垂直AB，垂足分别为D、E，说明DE等于二分之一BC成立的理由。

Answer 1

证明：因为 BD垂直于AC，垂足为D，
所以 角ADB=90度，三角形ABD是直角坐标三角形，
因为 角A=60度，
所以 角ABD=30度，
所以 AD=AB/2，AD/AB=1/2，
同理： AE/AC=1/2，
所以 AD/AB=AE/AC，
又因为 角A是公共角，
所以 三角形AEF相似于三角形ACB，
所以 DE/BC=AD/AB=1/2，
所以 DE=1/2BC。

Answer 2

证明：设BD与CE交于点O，取BC的中点M，分别连接DM,EM
因为BD垂直AC于D
所以角BDC=角ADB=90度
所以三角形BDC是直角三角形
所以DM是直角三角形BDC的中线
所以DM=1/2BC
因为CE垂直AB于E
所以角BEC=90度
所以三角形BEC是直角三角形
所以EM是直角三角形BEC的中线
所以EM=MC=1/2BC
所以EM=DM
所以角MEC=角MCE
因为角BDC=角BEC=90度（已证）
所以E,B,C,D四点共圆
所以角MCE=角ODE
因为角BEC=角ADB=90度
所以A,E,O,D四点共圆
所以角A=角BOE
因为角A=60度
所以角BOE=60度
因为角BOE=角OED+角ODE
因为角MED=角MEC+角OED
所以角MED=60度
因为ME=MD(已证）
所以三角形MED是等边三角形
所以DE=DM=ME
所以DE=1/2BC

Answer 3

解：
因为：BD垂直AC，CE垂直AB
所以：角CEA=角BDA=90度
又因为：角A=角A
所以：三角形BDA相似于三角形CEA
所以：AD:AE=AB:AC
又因为：角A=角A
所以：三角形ADE相似于三角形ABC
所以：DE:BC=AD:AB
在Rt三角形ABD中，由角BDA=90度，角A等于60度，
所以，可得：AD=AB/2
所以，有：DE等于二分之一BC

Answer 4

设线段BD与线段CE相交于F点，因为角A为60度，又BD，CE分别垂直于AC，AB，故角ACE和角ABD都为30度，sin30度=DF/CF=EF/BF=0.5，又有角DFE与角CFB为对顶角，故三角形DFE与三角形FCB相似，且相似比为0.5。故DE等于二分之一BC成立

Answer 5

证明：取BC的中点F，连接EF、DF
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180, ∠A＝60
∴∠ABC+∠ACB＝180-∠A＝180-60＝120
∵BD⊥AC
∴∠BDC＝90
∵F是BC的中点
∴DF＝BF＝CF＝BC/2 （直角三角形中线特性）
∴∠FEB＝∠ABC
∴∠BFE＝180-∠FEB-∠ABC＝180-2∠ABC
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝90
∵F是BC的中点
∴EF＝BF＝CF＝BC/2 （直角三角形中线特性）
∴∠FDC＝∠ACB，EF＝DF
∴∠CFD＝180-∠FDC-∠ACB＝180-2∠ACB
∴∠DFE＝180-∠BFE-∠CFD
＝180-180+2∠ABC-180+2∠ACB
＝2（∠ABC+∠ACB）-180
＝240-180
＝60
∴等边△DEF
∴DE＝DF
∴DE＝BC/2

Answer 6

由题意可知，角DBC等于角ECB等于30度，可知三角形ABC为等边三角形，E,D分别为AB,AC的中点，所以DE等于二分之一BC