Question

狭义相对论中尺子缩短的公式是怎么推导的

Answer 1

狭义相对论中的公式推导：
一、洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
1、设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。
2、可令x=k(X+uT) (1)。又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。
3、故有X=k(x-ut) (2)。对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y (3)。
4、Z=z (4)。将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)。
5、(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT。
6、代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
二、速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)；V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))；V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))。
1、V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)。
2、同理可得V(y),V(z)的表达式。
三、尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ。
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ。
四、钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ。
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T。
五、光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。光源与探测器在一条直线上运动。
1、B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b) (1)。
2、探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则△t(N)=(1+β)△t(a) (2)。
3、相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3)。
4、由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。
六、动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm。
1、dt=γdτ,此时γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c。
2、牛顿第二定律在伽利略变换下保持形势不变，即无论在哪个惯性系内牛顿第二定律都成立。
3、牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，只要将分母替换为一个不变量就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。
4、牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv。
七、相对论力学基本方程：F=dP/dt。
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。
八、质能方程：E=Mc^2。
1、Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=Mc^2-mc^2。
2、即E=Mc^2=Ek+mc^2
九、能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2。
E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2。