Question

二元函数极值点的问题，请问二元函数取极值时，必要条件为什么是二阶偏导数大于等于0而不是大于0？如图

二元函数极值点的问题，请问二元函数取极值时，必要条件为什么是二阶偏导数大于等于0而不是大于0？如图如图所示，答案没有写清楚，即使是一元函数，要取极小值的话，不也是一阶导数等于0二阶导数大于0的吗？

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Answer 1

二阶偏导数等于0时，也可以取到极值。
比如，一个横放的圆柱下半，z=-√（r²-y²），在x=0，y=0，z=-r，取得极小值。
∂z/∂x=0，∂²z/∂x²=0，
又比如一个放在平面xOy上的中心在原点的圆环下半，z=-√[r²-（R-√（x²+y²））²],r为环管半径，R为环中心半径。
在（R，0，-r）点，有极小值，-r，
∂z/∂y=-（1/2）/√[r²-（R-√（x²+y²））²].（-2（R-√（x²+y²））（-（1/2）2y/√（x²+y²）
=-y（R-√（x²+y²）/{√[r²-（R-√（x²+y²））²]√（x²+y²）}
∂²z/∂y²=-（R-√（x²+y²）/{√[r²-（R-√（x²+y²））²]√（x²+y²）}+y/2.2y/√（x²+y²）/{√[r²-（R-√（x²+y²））²]√（x²+y²）}+（1/2）y（R-√（x²+y²）/{√[r²-（R-√（x²+y²））²]³√（x²+y²）}.（-2（R-√（x²+y²））（-（1/2）2y/√（x²+y²）
+（1/2）y（R-√（x²+y²）/{√[r²-（R-√（x²+y²））²]√（x²+y²）³}.2y
x=R，y=0，代入：
∂²z/∂y²|（R，0，-r）=-（R-√（R²+0²）/{√[r²-（R-√（R²+0²））²]√（R²+0²）}+0
=0
想象一个平放的水槽，槽底有最小值，沿槽的轴线方向，二次导数=0；
想象一个平放的平底锅，x，y方向的二次偏导数都是0，但是锅底有极小值。

Answer 2

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