Question

计算对弧长的曲线积分∫y^2ds,其中C为摆线x=a(1-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),答案(256/15)a^3,要解题过程

Answer 1

计算对弧长的曲线积分∫y²ds，其中C为摆线x=a(1-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)。
解：C：x=a(1-sint)，y=a(1-cost)；dx/dt=-acost，dy/dt=asint，
[C]∫y²ds=[C]a²∫(1-cost)²√(a²cos²t+a²sin²t)dt=[C]a³∫(1-cost)²dt=[C]a³∫(1-2cost+cos²t)dt
=a³[t+2sint+(1/2)t+(1/4)sin2t]︱[0，2π]=a³[(3/2)t+2sint+(1/4)sin2t]︱[0，2π]=3πa³

追问

不好意思老师，写错了，x=a(t-sint)！！！,

追答

计算对弧长的曲线积分∫y²ds，其中C为摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)。
解：C：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)；dx/dt=a(1-cost)，dy/dt=asint，
[C]∫y²ds=[C]a²∫(1-cost)²√[a²(1-cost)²+a²sin²t]dt=[C]a³∫(1-cost)²√(2-2cost)dt
=[C](√2)a³∫(1-cost)^(5/2)dt=[C](√2)a³∫[2sin²(t/2)]^(5/2)dt=2(2a)³∫[sin(t/2)]^5d(t/2)
=16a³[-sin⁴(t/2)cos(t/2)+(4/5)∫sin³(t/2)d(t/2)]
=16a³{-sin⁴(t/2)cos(t/2)+(4/5)[-sin²(t/2)cos(t/2)+(2/3)∫sin(t/2)d(t/2)]}
=16a³{-sin⁴(t/2)cos(t/2)+(4/5)[-sin²(t/2)cos(t/2)-(2/3)cos(t/2)]}︱[0，2π]
=16a³[(4/5)(2/3)+(4/5)(2/3)]=16a³(16/15)=(256/15)a³