Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE,求证:DE⊥BC.

Answer 1

因为AD＝AE，所以△ADE为等腰三角形，
因此，过A点作DE的垂线交DE于O，则AO⊥DE，
且AO为∠DAE的角平分线，即：
∠DAO＝∠OAE（1），
又因∠DAE＝∠ABC＋∠ACB＝2∠ABC（2），
由（1）（2）可知∠DAO＝∠ABC，即AO∥BC，
所以DE⊥BC。证明完毕。

Answer 2

延长ED交BC与G点
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE=∠CDG
∠DGC=∠AED+∠ABC=∠ACB+∠CDG=∠EGB
∠DGC+∠EGB=180°
∠DGC=∠EGB=90°
∴DE⊥BC

Answer 3

证明：作AH⊥BC于H,因为AB=AC

∴AH平分顶角∠BAC

∠BAH=∠CAH=∠BAC/2=(180°-∠DAE)/2

因为AD=AE

∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)/2

∴∠BAH=∠ADE

∴AH∥DE

∴DE⊥BC

(一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么和另一条也垂直)