Question

计算对曲线积分∫z ds,其中C为螺旋线x=tcost,y=tsint,z=t(0≤t≤t0)

答案是 (1/3)[()[(2+t0)^2√(2+t0)^2-2√2 !

Answer 1

计算过程如下：

令x=tcost，y=tsint，z=t

dx/dt=cost-tsint

dy/dt=sint+tcost

dz/dt=1

[C]∫z ds=[C]∫t√[(cost-tsint)²+(sint+tcost)²+1]dt

=[C]∫t√[(cos²t-2tsintcost+t²sin²t)+(sin²t+2tsintcost+t²cos²t)+1]dt

=[C]∫t√(t²+2)dt

=(1/2)∫√(t²+2)d(t²+2)

=(1/2)(2/3)(t²+2)^(3/2)︱[0,to]

=(1/3)[(t²o+2)^(3/2)- 2√2]

曲线积分：

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

Answer 2

计算对曲线积分∫z ds，其中C为螺旋线x=tcost，y=tsint，z=t(0≤t≤t0)。
解：C：x=tcost，y=tsint，z=t；dx/dt=cost-tsint；dy/dt=sint+tcost；dz/dt=1；
[C]∫z ds=[C]∫t√[(cost-tsint)²+(sint+tcost)²+1]dt
=[C]∫t√[(cos²t-2tsintcost+t²sin²t)+(sin²t+2tsintcost+t²cos²t)+1]dt
=[C]∫t√(t²+2)dt=(1/2)∫√(t²+2)d(t²+2)=(1/2)(2/3)(t²+2)^(3/2)︱[0，to]=(1/3)[(t²o+2)^(3/2)- 2√2]

Answer 3

∫C z ds=∫[0→t0] t√[(dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²] dt
=∫[0→t0] t√(t²+2) dt
=(1/2)∫[0→t0] √(t²+2) d(t²+2)
=(1/3)√[(t²+2)³] | [0→t0]
=(1/3)√[(t0²+2)³] - √8/3