Question

图1是一个无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2，已知图中每个正方体的边长为1，

说明立体图中角BAC与平面展开图中角B'A'C'的大小关系 【证明过程】

Answer 1

假设展开图中∠B'A'C'有∠1和∠2构成（上1下2），即
∠B'A'C'=∠1+∠2 ①
∵ΔABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45° ②
∵tan∠1=1/3,tan∠2=1/2
∴tan(∠1+∠2)=(tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1·tan∠2)
=(1/3+1/2)/(1-1/3×1/2)
=1
∵0°<∠1+∠2<90°,
y=tanx在第一象限是增函数，tan45°=1
∴∠1+∠2=45° ③
根据①②③有：
∠BAC=∠B'A'C'

Answer 2

假设展开图中∠B'A'C'有∠1和∠2构成（上1下2），即
∠B'A'C'=∠1+∠2 ①
∵ΔABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45° ②
∵tan∠1=1/3,tan∠2=1/2
∴tan(∠1+∠2)=(tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1·tan∠2)
=(1/3+1/2)/(1-1/3×1/2)
=1
∵0°<∠1+∠2<90°,
y=tanx在第一象限是增函数，tan45°=1
∴∠1+∠2=45° ③
根据①②③有：
∠BAC=∠B'A'C'

Answer 3

∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴∠BAC=45°．（5分）在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=
5
，B'C'=
5
．（7分）
又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形．
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′为等腰直角三角形．（8分）
∴∠B′A′C′=45°．（9分）
∴∠BAC与∠B′A′C′相等．（10分）