Question

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x、y∈(-1,1)都有

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)=f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]

1。求证：函数f(x)是奇函数

2。如果当x∈（-1，0）时，有f(x)>0,求证：f(x)在（-1，1）上是单调递减区间

Answer 1

1、令x=0,y=0，可得f(0）=0
再令x=0，-f(y)=f(y),所以函数为奇函数
2、设X1,X2为（-1，0）上的两值，且x1＜x2,
则f(x1)-f(x2)=f[(x1+x2)/(1+x1x2)],由题意可知，
-2＜x1+x2＜0,1＞x1x2＞0,而当x∈（-1，0）时，有f(x)>0，所以f(x1)-f(x2)＞0,所以函数在（-1，0）上为减函数，根据奇函数对称性可证（0，1）上也为减函数，所以在（-1，1）上为减函数。

Answer 2

1.
当x=y=0时，可得f（0）=0令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=02。对奇函数有f（x）=-f（-x）令x=x1，y=-x2，且x1<x2,x1,x2∈(-1,0)则有f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）/（1-x1x2）根据题意f（x1-x2）〉0，又两个负小数相乘为正小数等号右边大于零根据单调性定义，知f（x）在∈(-1,0)时为单调减函数又fx为奇函数，则fx在（0，1）上也为单调减函数则fx在（-1，1）上是单调减函数