Question

在△ABC中,设向量BC乘向量CA=向量CA乘向量AB

在三角形ABC中，设向量BC乘向量CA等于向量CA乘向量AB
求证:三角形ABC为等腰三角形
若向量BA加向量BC的模等于2，且B属于60到120度，求向量BA乘向量BC的取值范围
范围是负二分之一到三分之二，详细过程

Answer 1

1.
向量BC乘向量CA等于向量CA乘向量AB,
BC•CA=CA•AB,
BC•CA -CA•AB =0,
CA•(BC- AB) =0,
(CB+BA) •(BC- AB) =0,
(-BC-AB)•(BC- AB) =0,
即-(BC+AB)•(BC- AB) =0,
所以-( BC²- AB²)=0, BC²= AB²，
∴|BC|=|AB|，所以三角形ABC为等腰三角形。

2.
设|BC|=|AB|=a,
｜BC+BA｜=2,平方得：BC²+BA²+2 BC• BA=4，
即a²+ a²+2 a² cosB=4，所以2 a²(1+ cosB)=4,
∴a²＝2/（cos∠B+1）.
BA•BC＝a²cosB＝2cosB/（cos∠B+1）＝2-2/（cos∠B+1）
∵∠B∈[π/3, 2π/3]
-1/2≤ cos∠B≤1/2.
1/2≤cos∠B+1≤3/2
2/3≤1/（cos∠B+1）≤2
-4≤-2/（cos∠B+1）≤-4/3
-2≤2-2/（cos∠B+1）≤2/3
∴BA•BC∈[-2,2/3]

Answer 2

1、
作bd⊥ac于d，
向量bc×向量ca=向量ca×向量ab
-|bc||ca|cosc=-|ca||ab|cosa
|bc|cosc=|ab|cosa
根据投影的定义可知：ad=cd
由此可知，ab=bc，等腰三角形
2、
|ba+bc|=2，所以，|bd|=1
ba×bc=|ab|^2cosb
而，|ab|cos(b/2)=bd=1
所以ba×bc=|ab|^2cosb
=cosb/cos^2(b/2)
=2+1/cos^2(b/2)
求值域，最后结果[10/3,6]