Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC,O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点

D为射线BC上的一点，且PD=PB,过点D做射线AC上的垂线DE,垂足为E
①当点P在线段OC上时，PE=BO吗？为什么？ 好的加分，快点回答，我中间有一点知道的步骤，但不知如何做，请大虾们帮帮忙

Answer 1

会相等的。先和你说下这类题目的思路一般都是用全等来证明的或者你直接假设结论成立，然后再寻找条件证明另一个方式下的结论。
比如说，这道题，你可以先假设PE=BO；那么在直角三角形BOP、PED中有直角边和斜边相等，这样就可证明这两个直角三角形全等，好像是用(HL),说以直接去找能证明这两个三角形全等的条件就可以了。
证明： 因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以
∠A＝∠BCA＝45° ；
∵O是AC的中点，
∴BO⊥AC ，因此可知 ∠CBO=45° =∠BCA ;
∵ ∠CBO=∠3+∠5=45°=∠4+∠7 ,
又∵ PD=PB；①
∴ ∠5 = ∠7，因此可知 ∠3 = ∠4；②
∴ 直角 △BOP与直角△PED中∠OPB=∠EDP ; ③
综合①②③可得， △BOP ≌ △PED （角边角）
所以，当点P在线段OC上时，PE=BO。

Answer 2

证明：连接OB
∵AB＝AC，∠ABC＝90
∴∠A＝∠BCA＝45
∵O是AC的中点
∴BO⊥AC
∴∠BOC＝90, ∠CBO＝45
∵PB＝PD
∴∠PBD＝∠PDB
∵∠PBD+∠PBO＝∠CBO＝45, ∠PDB+∠DPE＝∠BCA＝45
∴∠PBO＝∠DPE
∵DE⊥AE
∴∠DEP＝∠BOC＝90
∴△BPO≌△PDE （AAS）
∴PE＝BO