Question

关于线性代数一些概念和相应的性质

2个矩阵相似

2个矩阵合同

2个矩阵等价

例如，两个矩阵相似，那么他们1、行列式相同 2、可逆性相同 3、特征值、特征多项式相同 4、 他们一定等价。。。。

最好能全一些，并且做成表格

Answer 1

我是上海交大的本科生。下面的内容是我根据课堂笔记和教材整理的。
请按照以下次序，循序渐进结合习题理解记忆概念。注意何时为方阵，何时为矩阵

一、等价
两个矩阵A,B等价定义: 存在可逆矩阵P,Q, 满足 PAQ = B
即经过有限次初等变换A可变为B
性质：同型、同秩、同标准形
自反性、传递性、反身性
注：经过初等变换的含义为P、Q皆可表示成初等矩阵的乘积

二、相似
（一）两个方阵A,B相似:
定义：存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B，称P为A~B的相似变化阵
性质：同特征多项式, 同特征值, 同行列式, 同迹, 同秩,
特殊的等价：自反性、传递性、反身性
A的逆~B的逆，A的伴随矩阵~B的伴随矩阵
若存在多项式g(x)，则方阵g(A)~g(B)

（二）矩阵的相似对角
定义：存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=diag(λ1,λ2,...λn)
方阵A能相似对角的充要条件：①A有n个线性无关的特征向量
②对每一个特征值都有代数重数=几何重数
推论：①对角矩阵主对角线的值为方阵A的特征值λ，P的列向量为A的特征向量ξ，且λ与ξ的次序一一对应
②A的n个特征值互不相同（方阵A能相似对角的充分非必要条件）
*与单位矩阵相似的矩阵仍为单位矩阵

三、合同
两个方阵A,B合同定义：存在可逆矩阵P, 满足 P^TAP = B，称P为合同变换阵
性质：A与B同型、同秩、同正惯性指数
特殊的等价：自反性、传递性、反身性
若A正定，则B也正定
*与单位矩阵合同的矩阵是同阶所有正定阵

P.S.我们学校的教材和相关的辅导书还是挺不错的，辅导书人手三本，推荐你使用
教材：线性代数（第二版），科学出版社，上海交通大学数学系编
辅导书皆为上海交通大学出版社：①线性代数习题与精解 ②线性代数解题方法与技巧，我的线代老师王纪林编的 ③线性代数试卷剖析

网易公开课有MIT教授讲线性代数，数形结合做得非常好。可惜国内教材在这点上普遍缺乏，过于注重解题技巧，其中包括清华（其实他们的辅导书线性代数学习指南在我们这里口碑还是不错的，仅仅是针对帮助考试而言），当然还有上海交大。

欢迎报考上海交通大学！^_^

Answer 2

两个矩阵A,B相似: 存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B
特征多项式相同, 特征值相同, 行列式相同, 迹相同, 秩相同, 等价

两个矩阵A,B合同: 存在可逆矩阵P, 满足 P^TAP = B
秩相同, 等价, 行列式差一非零倍数

两个矩阵A,B等价: 存在可逆矩阵P,Q, 满足 PAQ = B
充分必要条件是秩相同