Question

如果数列｛an}满足a1=2,a2=1,且（an-1-an)／(anan-1)=(an-an+1)／(anan+1)(n≥2), 设bn=2的n次方/an 求bn的

求bn的前n项和

Answer 1

由（an-1-an)／(anan-1)=(an-an+1)／(anan+1)(n≥2),
得到1/an-1/a(n-1)=1/a(n+1)-1/an
{1/an}是等差数列，而且公差d=1/a2-1/a1=1/1-1/2=1/2
所以1/an=1/a1+(n-1)d=1/2+(n-1)(1/2)=n/2
an=2/n
bn=2^n/an=n*2^(n-1)
记bn的前n项和为Sn，则
Sn=1+2*2+3*2^2+4*2^3+5*2^4+......... +n*2^(n-1)
2Sn= 1* 2+2*2^2+3*2^3+4*2^4+.........+(n-1)2^(n-1)+n*2^n
(1-2)Sn=1+2 + 2^2+ 2^3+ 2^4+..............+ 2^(n-1)-n*2^(n+1)
-Sn=(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
Sn=-(1-2^n)/(1-2)+n*2^(n+1)
=n*2^(n+1)+(1-2^n)
= n*2^(n+1)-2^n+1
=(2n-1)*2^n+1
得到bn的前n项和为(2n-1)*2^n+1。