Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0),(1)证明该方程的一个根大于2，另一个根小于2

（2）若对于a=1,2,3.......2012，相应方程的两根分别为（α1，β1）......（α2012，β2012），求1/α1+1/β1+1/α2+1/β2+......+1/α2012+1/β2012

Answer 1

（1）f(2)=2²-2*2-a²-a=-a²-a<0恒成立 ，开口向上，故该方程的一个根大于2，另一个根小于2
（2）1/α+1/β=（α＋β）/α*β=2/(-a²-a)
1/α1＋1/β1＋1/α2＋1/β2＋1/α3＋1/β3＋1/α4＋1/β4＋······＋1/α2012＋1/β2012
=（1/α1＋1/β1）＋（1/α2＋1/β2）＋（1/α3＋1/β3）＋（1/α4＋1/β4）＋······＋（1/α2012＋1/β2012）=-2/1(1+1)-2/2(2+1)-2/3(3+1)-2/4(4+1)-2/5(5+1)-……-2/2012(2012+1)
=-2(1-1/2012)
=-4014/2013

Answer 2

第一个问题：
∵a＞0，∴方程x^2－2x－a^2－a＝0的判别式＝（－2）^2－4（－a^2－a）＝4＋4a^2＋4a＞0。
∴方程x^2－2x－a^2－a＝0有两不等实根。

令f（x）＝x^2－2x－a^2－a，则：f（x）＝x^2－2x－a^2－a是一条开口向上的抛物线，
∴必存在x1、x2，且x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2）＝0。
又f（2）＝2^2－2×2－a^2－a＝－（a^2＋a）＜0。
∴函数f（x）＝x^2－2x－a^2－a的零点一定在x＝2的两侧，∴x1＜2、x2＞2。
∴方程x^2－2x－a^2－a＝0的两根中，一者大于2，另一者小于2。

第二个问题：
由韦达定理，有：
α1＋β2＝2、α1β2＝－（1^2＋1）＝－1×（1＋1）＝－1×2。
α2＋β2＝2、α2β2＝－（2^2＋2）＝－2×（2＋1）＝－2×3。
α3＋β3＝2、α3β3＝－（3^2＋3）＝－3×（3＋1）＝－3×4。
α4＋β4＝2、α4β4＝－（4^2＋4）＝－4×（4＋1）＝－4×5。
······
αn＋βn＝2、αnβn＝－（n^2＋n）＝－n×（n＋1）。
······
α2012＋β2012＝2、α2012β2012＝－（2012^2＋2012）＝－2012×2013。

于是：
1/α1＋1/β1＋1/α2＋1/β2＋1/α3＋1/β3＋1/α4＋1/β4＋······＋1/α2012＋1/β2012
＝（α1＋β1）/（α1β1）＋（α2＋β2）/（α2β2）＋······＋（α2012＋β2012）/（α2012β2012）
＝2/（－1×2）＋2/（－2×3）＋2/（－3×4）＋2/（－4×5）＋······＋2/（－2012×2013）
＝－2×［1/（1×2）＋1/（2×3）＋1/（3×4）＋1/（4×5）＋······＋1/（2012×2013）］
＝－2×［（1－1/2）＋（1/2－1/3）＋（1/3－1/4）＋······＋（1/2012－1/2013）］
＝－2×（1－1/2013）
＝－2×（2013－1）/2013
＝－4024/2013。