Question

在线等答案！！已知二次函数y=ax²+bx+c图像的顶点坐标为（2,4）。

1）若一次函数y=kx+4（k≠0）图像与y轴及二次函数y=ax²+bx+c图像的交点依次为D、E、F，且S△ODE/S△OEF=1/3，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；
2）在（1）的条件下，若线段EF的长m满足3√2≤m≤3√5，试确定a的取值范围。

Answer 1

已知二次函数y=ax²+bx+c图像的顶点坐标为（2,4）。1）若一次函数y=kx+4（k≠0）图像与y轴及二次函数y=ax²+bx+c图像的交点依次为D、E、F，且S△ODE/S△OEF=1/3，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；2）在（1）的条件下，若线段EF的长m满足3√2≤m≤3√5，试确定a的取值范围。
解：(1). ∵y=ax²+bx+c图像的顶点坐标为（2，4），∴ -b/2a=2，即有b=-4a..............(1)
令x=0，得y=kx+4=4，故D点的坐标为(0，4)；设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)；将顶点坐
标代入抛物线方程得：4a+2b+c=4，再将b=-4a代入得4a-8a+c=-4a+c=4，故c-4=4a.....(2)
将直线方程y=kx+4代入抛物线方程得：kx+4=ax²+bx+c，故有：ax²-(k-b)x+c-4=0，再将(1)和
(2)代入得ax²-(k+4a)x+4a=0...........(3)
S△ODE/S△OEF=︱DE︱/︱EF︱=1/3，故︱DE︱/︱DF︱=1/4..........(4)
其中︱DE︱=√[x²₁+(y₁-4)²]=√[x²₁+(kx₁)²]=︱x₁︱√(1+k²)；
同理,︱DF︱=︱x₂︱√(1+k²)；
代入(4)式得︱x₁︱/︱x₂︱=1/4...................(5)
依维达定理，由(3)得x₁+x₂=(k+4a)/a...........(6)；
x₁x₂=4，由此可见，x₁与x₂同号，又因为抛物线的顶点在y轴的右侧，故必有x₁>0，x₂>0；于是得︱x₁︱/︱x₂︱=x₁/x₂=1/4，故x₂=4x₁；x₁x₂=4x²₁=4，∴x₁=1，x₂=4；
代入(6)式即得：5=(k+4a)/a，故有k=a.
(2).︱EF︱=[√(1+K²)]√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√{(1+a²)[25-16]}=3√(1+a²)
以知3√2≤3√(1+a²)≤3√5，即有2≤1+a²≤5，1≤a²≤4，故得1≤a≤2；或-2≤a≤-1.

Answer 2

如下图：