Question

初三数学题（高手进来啊！）

如图,在三角形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,P为边AB上的动点，以点O为圆心的⊙O经过点P。
（1）如图①，当点P运动到C点时，过点C作CD⊥OA，垂足为D，如果CD²=AD·OD，那么AB是⊙O的切线吗？
（2）如图②，当点P运动到使⊙O与边AB有两个交点时，设另一交点为点E，作PM⊥OA，EN⊥OA,垂足分别为M,N，设PM=a,EN=b.
①求a+b的值。
②求四边形PMOB的面积最小值。
图如下

Answer 1

（1）CD²=AD×OD，所以AD/CD=CD/OD
CD⊥OA，所以∠ADC=∠CDO=90
因此△ADC∽△CDO。∠COD=∠ACD
因为∠CAD+∠ACD=90，所以∠CAD+∠COD=90
OC⊥AC。AB为圆O切线
（2）①作OD垂直AB于D,从D作DH垂直OA于H
PM⊥OA，EN⊥OA。所以PM∥EN，四边形PMNE为直角梯形
RT△AOB中，OA=6，OB=8。所以AB=10
PE为弦，OD⊥PE，所以PD=DE。D为PE中点
DH⊥OA，所以DH∥PM。
DH为梯形中位线，PM+EN=2DH
OD为RT△AOB斜边上的高，因此OD=OA×OB/AB=24/5
根据射影定理，OA²=AD×AB。所以AD=18/5
DH为RT△OAD斜边上的高，因此DH=AD×OD/OA=72/25
PM+EN=a+b=2DH=144/25
②设OM为X，则AM=OA-OM=6-X
因为PM⊥OA，OB⊥OA，所以PM∥OB
简单有△AOB∽△APM
AM/AO=PM/OB
（6-X）/6=PM/8
6PM=48-8X
PM=-8-4X/3
S梯形PMOB=1/2×（PM+OB）×OM
=1/2×（8-4X/3+8）×X
=-2X²/3+8X
可以看到，当X=-8/（-2/3×2）=6时，面积有最大值
因为OA=6，所以X＜6
因此X越小，梯形面积越小
当E与A重合时，P距离B最近，X最小
此时AP=2AD=36/5
PB=AB-AP=14/5
作PQ⊥OB于Q，简单有△AOB∽△PQB
PQ/OA=PB/AB
PQ=42/25。所以OM=42/25
代入X=42/25
S梯形PMOB=-1176/625+8×42/25=7224/625
谁出的这么变态的题目？

Answer 2

图呢？

追问

图