Question

证明二元函数的极限不存在

Answer 1

分子分母同时除以XY，得1/((1/X)+(1/Y))，1/Y->∞，原式变成(X->0，Y->∞)limX ->∞,故不存在极限。

lim

0,y-->0>[√(xy+1)-1]/(x+y)

=lim

0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

这步是等价无穷小代换，是没有问题的。

沿y=0，lim

0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]=lim

0>0/(2x)=0

沿y=-x+x^2，lim

0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

==lim

0>(-x^2+x^3)/[2(x^2)]=-1/2

两种方式极限不相等，所以原来的极限不存在。

含义

与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}。

与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等。

Answer 2

多元函数的极限要证明存在是不容易的，要证明不存在则是非常容易的，只要选择一种方式使极限不存在或选择两种方式使极限不相等，就可以得到极限不存在的结论了。
lim<x-->0,y-->0>[√(xy+1)-1]/(x+y)
=lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]
这步是等价无穷小代换，是没有问题的。
沿y=0，lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]=lim<x-->0>0/(2x)=0
沿y=-x+x^2，lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]
==lim<x-->0>(-x^2+x^3)/[2(x^2)]=-1/2
两种方式极限不相等，所以原来的极限不存在。

Answer 3

不妨设X＝KY，则原式
＝(KY＋Y)÷(KY－Y)
＝（K＋1）÷（K－1）
可见，极限随着k值的变化而变化
故极限不存在