Question

请问这道积分题怎么算？谢谢！

Answer 1

如图

追问

请问n平方是怎么得出来的

追答

第一步用区间再现公式后就可以做出来

Answer 2

解：∵当n为自然数时，∫(0,nπ)x丨cosx丨dx=∫(0,π)x丨cosx丨dx+∫(π，2π)x丨cosx丨dx+……+∫(nπ-π,nπ)x丨cosx丨dx，
而，丨cosx丨=丨cos(nπ+x)丨,∴∫(0,nπ)x丨cosx丨dx=n∫(0,π)x丨cosx丨dx。
又，∫(0,π)x丨cosx丨dx=∫(0,π/2)xcosxdx-∫(π/2,π)xcosxdx=(xsinx+cosx)丨(x=0,π/2)-(xsinx+cosx)丨(x=π/2,π)=π，
∴原式=nπ。供参考。

追问

可是我的答案是n²π

还有所以后面的那个n是怎么提到积分号后面的呀

谢谢啦

追答

不好意思，是变形有误。当n为自然数时，∫(0,nπ)x丨cosx丨dx=∫(0,π)x丨cosx丨dx+∫(π，2π)x丨cosx丨dx+……+∫(nπ-π,nπ)x丨cosx丨dx，
依次设x=(n-1)π+t、利用丨cosx丨=丨cos(nπ+x)丨，
∴∫(0,nπ)x丨cosx丨dx=∫(0,π)x丨cosx丨dx+∫(0,π)(x+π)丨cosx丨dx+……+∫(0,π)(x+nπ-π)丨cosx丨dx。
再整理，有∫(0,nπ)x丨cosx丨dx=n∫(0,π)x丨cosx丨dx+[π+2π+……+(n-1)π]∫(0，π)丨cosx丨dx=n∫(0,π)x丨cosx丨dx+[n(n-1)π/2]∫(0,π)丨cosx丨dx。
可得，原式=(n^2)π。
【另外，直接换元“简洁一些”。设x=nπ-t，丨cosx丨=丨cost丨，原式=∫(0,nπ)(nπ-t)丨cost丨dt，∴原式=(nπ/2)∫(0,nπ)丨cosx丨dx=(n^2)π】。