Question

高等数学解微分方程

高等数学解微分方程第一题

Answer 1

d(siny)/dx-siny=cosx*sin^2y
e^(-x)*d(siny)/dx-e^(-x)*siny=e^(-x)*cosx*sin^2y
d[e^(-x)*siny]/dx=cosx*e^x*e^(-2x)*sin^2y
当siny=0时，siny=0是原方程的特解
当siny≠0时，d[e^(-x)*siny]/[e^(-x)*siny]^2=e^x*cosxdx
∫d[e^(-x)*siny]/[e^(-x)*siny]^2=∫e^x*cosxdx
因为∫e^x*cosxdx=∫cosxd(e^x)
=cosx*e^x+∫e^x*sinxdx
=cosx*e^x+∫sinxd(e^x)
=cosx*e^x+sinx*e^x-∫e^x*cosxdx
所以∫e^x*cosxdx=e^x*(cosx+sinx)/2+C
-1/[e^(-x)*siny]=e^x*(cosx+sinx)/2+C
-1/siny=(cosx+sinx)/2+C*e^(-x)
1/siny=C*e^(-x)-(cosx+sinx)/2
siny=2/[C*e^(-x)-cosx-sinx]，其中C是任意常数
综上所述，原方程的通解为
siny=2/[C*e^(-x)-cosx-sinx]，或siny=0