Question

高阶导数的题

高阶导数的题这道题

Answer 1

因为(x-a)^n的k阶导数为[n!/(n-k)!]*(x-a)^(n-k)=C(n,k)*k!*(x-a)^(n-k)
所以根据莱布尼兹公式

f(x)的n-1阶导数=∑(k=0->n-1) C(n-1,k)*(x-a)^n的k阶导数*φ(x)的n-k-1阶导数
=∑(k=0->n-1) C(n-1,k)*C(n,k)*k!*(x-a)^(n-k)*φ(x)的n-k-1阶导数
f(x)在x=a处的n-1阶导数=0
根据导数定义，f(x)在x=a处的n阶导数
=lim(x->a) [f(x)的n-1阶导数-f(x)在x=a处的n-1阶导数]/(x-a)

=lim(x->a) [∑(k=0->n-1) C(n-1,k)*C(n,k)*k!*(x-a)^(n-k)*φ(x)的n-k-1阶导数]/(x-a)
=lim(x->a) ∑(k=0->n-1) C(n-1,k)*C(n,k)*k!*(x-a)^(n-k-1)*φ(x)的n-k-1阶导数
=C(n-1,n-1)*C(n,n-1)*(n-1)!*φ(a)
=n!*φ(a)