Question

求满足不等式a²＋b²＋c²＋4≤ab＋3b＋2c的整数a，b，c

Answer 1

a²+b²+c²+4≤ab+3b+2c
a²-ab+b²/4+3b²/4-3b+3+c²-2c+1≤0
(a-b/2)²+3(b/2-1)²+(c-1)²≤0
平方项恒非负，和恒非负，要不等式成立，只有各项均=0
b/2-1=0 b=2
a-b/2=0 a=1
c-1=0 c=1
∴a=1 b=2 c=1

步骤是楼上的，我仅仅对为什么这样化简简单说明一下：
首先：对于三元二次表达式，我们通过变换【此处可以用线性代数二次型部分的知识来看待】总可以化成ax^2+by^2+cz^2+d的形式，所以上面的不等式最终其实就变成了：已知ax^2+by^2+cz^2+d《0，求满足条件的（x,y,z）。
怎样化简，这个也推荐你用线性代数二次型化简时的那种简单方法，先把x集中在一项里面之后，再把y集中在一项中，以此类推。
用在本题中就是：a²＋b²＋c²＋4≤ab＋3b＋2c，先把含有a的项集中在一起，a²-ab，对这项进行配方，配了之后再对b进行配方，以此类推，直到c也配方完毕。
而上式配方完毕之后就是：(a-b/2)²+3(b/2-1)²+(c-1)²≤0
至此结论就很明显了

Answer 2

a²+b²+c²+4≤ab+3b+2c
a²-ab+b²/4+3b²/4-3b+3+c²-2c+1≤0
(a-b/2)²+3(b/2-1)²+(c-1)²≤0
平方项恒非负，和恒非负，要不等式成立，只有各项均=0
b/2-1=0 b=2
a-b/2=0 a=1
c-1=0 c=1
∴a=1 b=2 c=1

❤您的问题已经被解答~~(>^ω^<)喵
如果采纳的话，我是很开心的哟(～ o ～)~zZ

Answer 3

a=0 b=0 c=0