Question

已知动圆M与y轴相切，且与定圆C：x^2+y^=2ax（a>0)相内切，求动圆圆心M的轨迹方程

Answer 1

设点M坐标为（x，y）
∵圆M与Y轴相切，
∴圆M的半径为 |x|
又圆M与圆C：(x-a)²+y²=a² 外切
∴|MC|=|x|+a
∴√[(x-a)²+y²]=|x|+a ①
当x>=0时，①式化为 y²=4ax
当x<0时，①式化为 y=0
综上，点M的轨迹方程为 y²=4ax(x>=0),y=0(x<0).

此题还可以利用定义法解题：
平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线
这里定点是圆C的圆心(a,0)，圆心M到C的距离为a+r，到y=0的距离为r，到x=-a的距离为a+r，那么，在定义里，F即圆心C(a,0)，定直线为y=-a，抛物线对称轴为x轴，开口向右，且过原点，则可得抛物线方程y^2-4ax=0.
特例：由于圆C与Y轴已经相切，则若圆M与Y轴切于原点，则必与圆C相切，再根据外切的条件，得另一个方程，y=0（x<0)，x>0时与C内切，不符合条件。
综上，点M的轨迹方程为 y²=4ax(x>=0),y=0(x<0).