线性代数：这题怎么做？
1个回答
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|A|是范德蒙行列式，
依题意，|A|≠0
∴A可逆，
对于任意非零向量x，有Ax≠0
【否则，Ax=0，可得x=0】
∴x^T·A^T·A·x=(Ax)^T·Ax＞0
∴A^T·A是正定矩阵。
依题意，|A|≠0
∴A可逆，
对于任意非零向量x，有Ax≠0
【否则，Ax=0，可得x=0】
∴x^T·A^T·A·x=(Ax)^T·Ax＞0
∴A^T·A是正定矩阵。
更多追问追答
追问
他不是正定矩阵啊……你得讨论s和n的关系
追答
没看清题目，
s≤n时，
A是列满秩矩阵，
∴R(A^T·A)=R(A)=s
又对任意非零向量，
x^T·A^T·A·x≥0
∴A^T·A是正定矩阵。
若s＞n，
则R(A^T·A)≤R(A)≤n＜s
又对任意非零向量，
x^T·A^T·A·x≥0
∴A^T·A是半正定矩阵(或非负定矩阵)。
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