Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y

轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC；
（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

依题意，图像在第一象限内且四边行OABC是直角梯形，过B点作X轴的垂线交X轴于D点，过N点作X轴的垂线交X轴于E点，设M点的坐标为（t，0），S直角梯形OABC求得为18。
（1）点A坐标为(6,0)点B坐标为（3，4），所以AB=5，要使MN//OC ，则MN//BD(M点与E点重合)，即△ANM∽△ABD，AN=t，AM=6-t，AD=3，有AM：AN=AD：AB ，所以(6-t)：t=3：5，解得t=15/4（秒）；
（2）由△ANE∽△ABD，求得NE=4t/5，S△CNM=S△直角梯形OABC-(S△ANM+S△OMB+S△BCN)=18-0.5*AM*NE-0.5*OM*OB-0.5*BC*(4-NE)，整理得S△CNM=2/5(t-4)^2+28/5．
∴当t=4时，S有最小值，且S最小=28/5
（3）设存在点P使MN⊥AC于点P
由（2）得AE=3t/5 NE=4t/5
∴ME=AM-AE=6-t-3t/5=6-8t/5，
∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴4t/5：6=6-8t/5：4
解得t=45/16
∴存在这样的t，且t=45/16

Answer 2

1）线段AB的平方＝B点y坐标的平方+（A点x坐标－B点x坐标）的平方
可得AB＝5
当N点到达B点时，MN∥OC
所以t=AB除以1＝5秒

Answer 3

（1）当PQAB为平行四边形时，利用平行四边形的性质和Q（10-2t，0）P（t，3）推出 6-t=10-2t，从而可求出t．
（2）当PQAB为等腰梯形时，根据勾股定理求出AB=5，再利用等腰梯形的性质可得9t2-60t+109=25，解得t即可．解答：解：（1）Q（10-2t，0）P（t，3）
∵BP‖AQ
∴PQAB为平行四边形时，
BP=AQ
则BP=6-t，AQ=2t
BP=AQ推出 6-t=2t
解得t=2

（2）∵BP‖AQ
∴PQAB为等腰梯形时QP=AB
AB=42+32=5
PQ=(10-2t)2+32
∵AP=PQ，
∴9t2-60t+109=25
9t2-60t+84=0
3t2-20t+28=0
（3t-14）（t-2）=0
解得t1=143，t2=2
又∵t=2时PQAB为平行四边形 （ （1）中已证 ）
所以t=143，