Question

光滑的长轨道形状如图甲所示，其底部为半圆形，半径为R，固定在竖直平面内，A、B为两质量相同的小环

用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上，将A、B两环从图示位置静止释放，A环与底部相距2R。不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失。
（1）求A、B两环都未进入半圆形轨道前，杆上的作用力。
（2）A环到达最低点时，两环的速度大小分别为多少
（3）若将杆的长度变为2√2R，A环仍从离底部2R处静止释放，则A环经过半圆形底部再次上升后的过程，B小环不能上到右面的轨道上，离开底部的最大高度为多少？轻杆长大于两轨道间距

Answer 1

(1)球和杆都做自由落体运动，完全失重状态，杆上只能够受到重力作用。
(2)关键在分析A、B的速度大小相等：在圆环里杆绕圆心做圆周运动，同一时刻杆上每一点的角速度相同，杆两端的圆周运动半径又相同，根据 v=ωr，可知 vA=vB。
动能定理：A下滑2R，B下滑5R/2
2mgR+5mg/2=½(2m)vA²
vA=√(9gR/2)=3√gR /2
(3) 此题忽略系统机械能的损失，初态与末态机械能相同，初态与末态的动能为零(不用考虑中间过程)，所以 初态与末态的重力势能相同。
在只考虑重力势能时，可以用整体法，利用整体的等效的质心来解决。
A、B、杆整体的质心在杆的中点上，重力势能不变，质心的高度就不变为2R+√2R；
末态是B在左上，A在右下，杆倾斜在轨道之间并与轨道成45°角，杆的中点高度不变为2R+√2R。
很容易算出A的高度 为 R+√2R

Answer 2

答案以及解答过程，如图所示