Question

已知f(x+1)和f(x-1)都是奇函数，求f(x)的周期。

为什么函数f(x)关于点(1,0)和点(-1,0)对称？函数f(x)的周期为T=2[1-(-1)]=4 ？？

请问那两个点是怎么求的？周期是怎么求的？
本人太笨，看了这答案都不懂啊~
T=2[1-(-1)]=4是什么意思啊？谁能解释一下？

Answer 1

解：f(1+x)=-f(1-x),f(-1-x)=-f(-1+x)
另x+1=t得：1-x=2-t，f(1+x)=f(t)=-f(1-x)=-f(2-t),注意这里的x和t都只是自变量，跟自变量用什么字母表示没关系的，
即：f(t)=-f(2-t)与f(x)=-f(2-x)等价的。
同样设-1-x=t得：-1+t=-2-t,于是有：f(x)=-f(-2-x)
于是有：f(2-x)=f(-2-x),同样设2-x=t得：-2-x=4+t，于是有f(x)=f(x+4)
所以周期是4

Answer 2

f(x+1)由f(x)平移到（-1,0）
f(x-1)由f(x)平移到（1,0）
f(x+1)和f(x-1)都是奇函数
（-1,0）到（1,0）是半个周期
f(x)的周期为T=2[1-(-1)]=4