Question

微积分题目，求详解

Answer 1

用数学归纳法可以证明a(2n--1)=1/(2n--1)!，n=1,2,3，...，a(2n)=4/(2n)!，n=0,1,2，...。
利用e^x=1+x+x^2/2!+....+x^n/n!+....，和e^(--x)=1--x+x^2/2!+...+(--1)^nx^n/n!+...
可得（注意收敛半径都是正无穷）
求和（n=1到无穷）x^(2n--1)/(2n--1)!=x+x^3/3!+...=【e^x--e^(--x)】/2，
求和（n=0到无穷）x^(2n)/(2n)!=1+x^2/2!+x^4/4!+...=【e^x+e^(--x)】/2，
于是S(x)=求和（n=1到无穷）x^(2n--1)/(2n--1)!+4求和（n=0到无穷）x^(2n)/(2n)!
=【e^x--e^(--x)】/2+4【e^x+e^(--x)】/2，=【5e^x+3e^(--x)】/2，负无穷<x<正无穷。
S'(x)=【5e^x--3e^(--x)】/2，于是知道：
当e^x<根号(3/5)时，S'(x)<0，当e^x>根号(3/5)时，S'(x)>0，
x0=0.5(ln3--ln5)是严格极小值点，
S(x0)=根号(15)。

Answer 2

(1)注意到e^x,e^(-x)的展开式系数满足题设的递推公式
不妨设S(x)=me^x+ne^(-x)
则有m+n=4,m-n=1
所以m=5/2,n=3/2，
即S(x)=(5/2)e^x+(3/2)e^(-x)
(2)题目抄错了吧？